Mathématiques MPSI

14.1

Relations de comparaison et développements limités

Notions : négligeabilité, domination, équivalence, croissances comparées, équivalents usuels, opérations sur les équivalents, développements limités, formule de Taylor-Young, opérations sur les DL, applications à l'étude locale, développements asymptotiques

Cours

Dans tout le chapitre, $a$ désigne un réel ou $\pm \infty$ , et les fonctions sont définies au voisinage de $a$ (éventuellement privé de $a$ ). Tout ce qui est dit pour les fonctions vaut pour les suites, avec $a = + \infty$ .

Relations de comparaison

Définition Négligeabilité, domination, équivalence

Soit $f, g$ définies au voisinage de $a$ , où $g$ ne s'annule pas (sauf peut-être en $a$ ).

$f$ est négligeable devant $g$ en $a$ , noté $f = o (g)$ , si $\frac{f}{g} \to 0$ en $a$ .
$f$ est dominée par $g$ en $a$ , noté $f = O (g)$ , si $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$ .
$f$ est équivalente à $g$ en $a$ , noté $f \sim g$ , si $\frac{f}{g} \to 1$ en $a$ , autrement dit si $f - g = o (g)$ .

Remarque

La définition générale (sans hypothèse sur les zéros de $g$ ) s'écrit $f = ε g$ avec $ε \to 0$ (resp. $ε$ bornée, resp. $ε \to 1$ ) au voisinage de $a$ . Ainsi, $f = o (1)$ signifie $f \to 0$ , et $f = O (1)$ signifie que $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Théorème Croissances comparées

Pour $α, β > 0$ et $q > 1$  :

(\ln x)^{β} = o (x^{α}) en + \infty, x^{α} = o (e^{β x}) en + \infty, | \ln x |^{β} = o (\frac{1}{x^{α}}) en 0^{+} .

Pour les suites : $n^{α} = o (q^{n})$ , $q^{n} = o (n!)$ et $n! = o (n^{n})$ .

Démonstration

Les trois premières ont été établies au chapitre 5. Pour $q^{n} = o (n!)$  : si $u_{n} = \frac{q^{n}}{n!}$ , alors $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{q}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ dès que $n \geq 2 q$ , donc $u_{n} \leq C 2^{- n} \to 0$ . Pour $n! = o (n^{n})$  : $\frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \dots \frac{n}{n} \leq \frac{1}{n}$ .

Proposition Propriétés de l'équivalence

$\sim$ est une relation d'équivalence.
Si $f \sim g$ et $g \to ℓ$ , alors $f \to ℓ$ . Si $f \sim g$ , $f$ et $g$ ont le même signe au voisinage de $a$ .
Produits et quotients : si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ , alors $f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}$ et $\frac{f_{1}}{f_{2}} \sim \frac{g_{1}}{g_{2}}$ . Pour $α$ réel fixé et $f, g > 0$ , $f^{α} \sim g^{α}$ .
Si $f \sim g$ en $a$ et si $φ (t) \to a$ quand $t \to b$ , alors $f \circ φ \sim g \circ φ$ en $b$ (on peut substituer dans un équivalent).

Démonstration

Chaque point se lit sur les quotients : $\frac{f_{1} f_{2}}{g_{1} g_{2}} = \frac{f_{1}}{g_{1}} \cdot \frac{f_{2}}{g_{2}} \to 1$ , $(\frac{f}{g})^{α} \to 1^{α} = 1$ par continuité de $t \mapsto t^{α}$ en $1$ , et $\frac{f}{g} \circ φ \to 1$ par composition des limites. Pour le signe : $\frac{f}{g} \geq \frac{1}{2}$ au voisinage de $a$ .

Attention Ce qu'on ne fait pas avec les équivalents

Pas de somme : $x + x^{2} \sim x + x^{3}$ en $0$ et $- x \sim - x$ , mais $x^{2} ≁ x^{3}$ . On additionne des DL, pas des équivalents.
Pas de composition à gauche : $n + 1 \sim n$ , mais $e^{n + 1} ≁ e^{n}$ . En revanche, $\ln f \sim \ln g$ si $f \sim g$ et $g \to ℓ \in [0, + \infty] ∖ {1}$ .
On n'écrit jamais $f \sim 0$ (sauf si $f$ est nulle au voisinage de $a$ ).

Proposition Équivalents usuels en 0

\sin x \sim x, \tan x \sim x, \ln (1 + x) \sim x, e^{x} - 1 \sim x, 1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}, (1 + x)^{α} - 1 \sim α x (α \neq 0), Arctan x \sim x, sh x \sim x .

Démonstration

Ce sont des taux d'accroissement : $\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} \to \sin^{'} (0) = 1$ , et de même pour les autres, en utilisant la dérivée en $0$ . Pour le cosinus, $1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2} \sim 2 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ .

Développements limités

Définition Développement limité

$f$ admet un **développement limité à l'ordre $n$ en $0$ ** (en abrégé ${DL}_{n} (0)$ ) s'il existe des réels $a_{0}, \dots, a_{n}$ tels que

f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) quand x \to 0.

Le polynôme $\sum a_{k} x^{k}$ est la partie régulière du DL. En un point $x_{0}$ , on étudie $h \mapsto f (x_{0} + h)$ en $0$ .

Proposition Unicité, troncature, parité

Si $f$ admet un ${DL}_{n} (0)$ , sa partie régulière est unique. En tronquant, on obtient un ${DL}_{p} (0)$ pour tout $p \leq n$ . Si $f$ est paire (resp. impaire), sa partie régulière est paire (resp. impaire).

Démonstration

Si $\sum a_{k} x^{k} - \sum b_{k} x^{k} = o (x^{n})$ avec des coefficients différents, soit $k_{0}$ le plus petit indice où $a_{k_{0}} \neq b_{k_{0}}$ . En divisant par $x^{k_{0}}$ et en faisant $x \to 0$ , on obtient $a_{k_{0}} - b_{k_{0}} = 0$  : contradiction. Pour la parité, $f (- x) = \sum a_{k} (- x)^{k} + o (x^{n})$ est aussi un DL de $f (- x) = f (x)$ , et l'unicité donne $a_{k} = (- 1)^{k} a_{k}$ .

Proposition DL d'ordre 0 et 1

$f$ admet un ${DL}_{0} (0)$ si et seulement si elle a une limite finie $a_{0}$ en $0$ (elle est alors prolongeable par continuité). Si $f$ est définie en $0$ , elle admet un ${DL}_{1} (0)$ si et seulement si elle est dérivable en $0$ , et alors $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + o (x)$ .

Attention Pas de réciproque à l'ordre 2

$f (x) = x^{3} \sin \frac{1}{x}$ (prolongée par $f (0) = 0$ ) vérifie $f (x) = o (x^{2})$  : elle a un ${DL}_{2} (0)$ nul. Mais $f^{'} (x) = 3 x^{2} \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x}$ n'est pas dérivable en $0$  : un ${DL}_{2}$ ne garantit pas l'existence de $f^{″} (0)$ .

Lemme Intégration d'un petit o

Si $f$ est dérivable au voisinage de $0$ et $f^{'} (x) = o (x^{n})$ , alors $f (x) - f (0) = o (x^{n + 1})$ .

Démonstration

Soit $ε > 0$ et $δ > 0$ tel que $| f^{'} (t) | \leq ε | t |^{n}$ pour $| t | \leq δ$ . Pour $0 < | x | \leq δ$ , l'inégalité des accroissements finis sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ , où $| f^{'} | \leq ε | x |^{n}$ , donne $| f (x) - f (0) | \leq ε | x |^{n} \cdot | x |$ .

Théorème Primitivation d'un DL

Si $f$ est dérivable au voisinage de $0$ et si $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ , alors

f (x) = f (0) + \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{k}}{k + 1} x^{k + 1} + o (x^{n + 1}) .

Démonstration

On applique le lemme à $g (x) = f (x) - \sum_{k} \frac{a_{k}}{k + 1} x^{k + 1}$ , dont la dérivée est $o (x^{n})$ et qui vaut $f (0)$ en $0$ .

Théorème Formule de Taylor-Young

Si $f$ est de classe $C^{n}$ au voisinage de $0$ , alors

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + o (x^{n}) .

Démonstration

Récurrence sur $n$ . Pour $n = 0$ , c'est la continuité de $f$ en $0$ . Si le résultat est vrai au rang $n$ , et si $f$ est $C^{n + 1}$ , on l'applique à $f^{'}$ , qui est $C^{n}$  : $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k + 1)} (0)}{k!} x^{k} + o (x^{n})$ . La primitivation donne $f (x) = f (0) + \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k + 1)} (0)}{(k + 1)!} x^{k + 1} + o (x^{n + 1})$ , qui est la formule au rang $n + 1$ .

Proposition Développements limités usuels en 0

\begin{aligned} e^{x} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + o (x^{n}) & \frac{1}{1 - x} & = \sum_{k = 0}^{n} x^{k} + o (x^{n}) \\ \cos x & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!} + o (x^{2 n + 1}) & \sin x & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} + o (x^{2 n + 2}) \\ ch x & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} + o (x^{2 n + 1}) & sh x & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} + o (x^{2 n + 2}) \\ \ln (1 + x) & = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1} x^{k}}{k} + o (x^{n}) & Arctan x & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k} x^{2 k + 1}}{2 k + 1} + o (x^{2 n + 2}) \\ (1 + x)^{α} & = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2} x^{2} + \dots + (\binom{α}{n}) x^{n} + o (x^{n}) & \tan x & = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + o (x^{6}) \end{aligned}

avec $(\binom{α}{k}) = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}$ .

Démonstration

$e^{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $ch$ , $sh$ et $(1 + x)^{α}$  : Taylor-Young, les dérivées successives en $0$ étant connues (l'ordre gagné pour $\cos$ et $\sin$ vient de la parité, le terme suivant étant nul). $\frac{1}{1 - x}$  : $\sum_{k = 0}^{n} x^{k} = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}$ , donc $\frac{1}{1 - x} - \sum_{k = 0}^{n} x^{k} = \frac{x^{n + 1}}{1 - x} = o (x^{n})$ . $\ln (1 + x)$ et $Arctan x$  : primitivation de $\frac{1}{1 + x}$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ , obtenus en remplaçant $x$ par $- x$ et $- x^{2}$ . $\tan$  : voir la fiche méthode (quotient), ou $\tan^{'} = 1 + \tan^{2}$ et primitivation successive.

Le schéma ci-dessous trace une fonction usuelle et son polynôme de Taylor en $0$ . Augmente l'ordre pour voir l'approximation s'étendre, et remarque qu'avec $\ln (1 + x)$ ou $\frac{1}{1 - x}$ elle ne dépasse jamais $x = 1$ .

Fonction ordre n

exp · polynôme de Taylor d'ordre 3 · écart en x = 0,5 : 2.89e-3

En vert : la fonction. En bordeaux : son polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $0$ . L'approximation est excellente près de $0$ , et d'autant plus large que $n$ est grand pour $\exp$ , $\sin$ et $\cos$ .

Opérations sur les développements limités

Proposition Somme, produit, composition

Soit $f$ et $g$ admettant des ${DL}_{n} (0)$ de parties régulières $P$ et $Q$ .

$f + g$ admet un ${DL}_{n} (0)$ de partie régulière $P + Q$ .
$f g$ admet un ${DL}_{n} (0)$ dont la partie régulière est $P Q$ tronqué au degré $n$ .
Si $g (0) = 0$ (donc $Q (0) = 0$ ), $f \circ g$ admet un ${DL}_{n} (0)$ , obtenu en développant $P (Q (x))$ et en tronquant au degré $n$ .
En particulier, si $g (0) = 0$ , $\frac{1}{1 - g}$ admet un ${DL}_{n} (0)$  : $\frac{1}{1 - g} = 1 + g + g^{2} + \dots + g^{n} + o (x^{n})$ . Si $g (0) \neq 0$ , on écrit $\frac{1}{g} = \frac{1}{g (0)} \cdot \frac{1}{1 - u}$ avec $u = 1 - \frac{g}{g (0)} \to 0$ .

Démonstration

Pour le produit : $f g = (P + o (x^{n})) (Q + o (x^{n})) = P Q + P o (x^{n}) + Q o (x^{n}) + o (x^{2 n}) = P Q + o (x^{n})$ , car $P$ et $Q$ sont bornés au voisinage de $0$ . Les termes de $P Q$ de degré $> n$ sont aussi des $o (x^{n})$ . Pour la composition, on admet le détail des majorations ; l'idée est que $g (x) = O (x)$ , donc $g^{k} = O (x^{k})$ , et les termes $o (g^{n})$ sont des $o (x^{n})$ .

Remarque

Pour calculer efficacement, on choisit dès le départ l'ordre de chaque facteur : si $g = O (x^{p})$ , il suffit de développer $f$ à l'ordre $n - p$ dans le produit $f g$ (exemple : $x \cdot \sin x$ à l'ordre $5$ demande $\sin x$ à l'ordre $4$ ).

Applications

Proposition Étude locale d'une fonction

Si $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{p} x^{p} + o (x^{p})$ avec $p \geq 2$ et $a_{p} \neq 0$ , alors $y = a_{0} + a_{1} x$ est la tangente en $0$ , et la courbe est localement au-dessus de la tangente si $a_{p} > 0$ et $p$ pair, en dessous si $a_{p} < 0$ et $p$ pair, et la traverse si $p$ est impair (point d'inflexion).

Démonstration

$f (x) - (a_{0} + a_{1} x) = a_{p} x^{p} + o (x^{p}) \sim a_{p} x^{p}$ , qui a localement le signe de $a_{p} x^{p}$ .

Définition Développement asymptotique

En $\pm \infty$ , on pose $x = \frac{1}{t}$ avec $t \to 0$ . Si $\frac{f (x)}{x} = a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{p}} + o (\frac{1}{x^{p}})$ avec $c \neq 0$ , $p \geq 2$ , alors $f (x) = a x + b + \frac{c}{x^{p - 1}} + o (\frac{1}{x^{p - 1}})$  : la droite $y = a x + b$ est asymptote, et le signe de $\frac{c}{x^{p - 1}}$ donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

Tester ses réflexes

Vrai ou faux ? Réponds avant d'ouvrir.

f \sim g

h \sim k

, alors

f + h \sim g + k

Faux. En $+ \infty$  : $n + 1 \sim n$ et $- n \sim - n$ , mais $1 ≁ 0$ .

u_{n} \sim v_{n}

v_{n} \to ℓ \neq 0

, alors

u_{n} \to ℓ

Vrai. $u_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}} v_{n} \to 1 \cdot ℓ$ . C'est même vrai pour $ℓ = 0$ et $ℓ = \pm \infty$ .

e^{n + \frac{1}{n}} \sim e^{n}

et donc

e^{n + \sqrt{n}} \sim e^{n}

Faux. Le premier est vrai (le quotient $e^{1 / n} \to 1$ ), mais pas le second ( $e^{\sqrt{n}} \to + \infty$ ). Pour composer par l'exponentielle, il faut que la différence tende vers $0$ .

\ln (n + 1) \sim \ln n

Vrai. $\ln (n + 1) = \ln n + \ln (1 + \frac{1}{n}) = \ln n + o (1)$ , et $\ln n \to + \infty$ .

Une fonction qui admet un

{DL}_{2} (0)

est deux fois dérivable en

0

Faux. Contre-exemple $x^{3} \sin \frac{1}{x}$ du cours.

f

admet le

DL

f (x) = 1 + 2 x - x^{3} + o (x^{3})

, la courbe traverse sa tangente en

0

Vrai. $f (x) - (1 + 2 x) \sim - x^{3}$ change de signe en $0$ .

Mathématiques MPSI · semestre 2

Analyse asymptotique et intégration

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