Mathématiques MPSI · semestre 2 — Chapitre 1

14.1

Relations de comparaison et développements limités

Notions : négligeabilité, domination, équivalence, croissances comparées, équivalents usuels, opérations sur les équivalents, développements limités, formule de Taylor-Young, opérations sur les DL, applications à l'étude locale, développements asymptotiques

Cours

Dans tout le chapitre, $a$ désigne un réel ou $\pm \infty$ , et les fonctions sont définies au voisinage de $a$ (éventuellement privé de $a$ ). Tout ce qui est dit pour les fonctions vaut pour les suites, avec $a = + \infty$ .

Relations de comparaison

Définition Négligeabilité, domination, équivalence

Soit $f, g$ définies au voisinage de $a$ , où $g$ ne s'annule pas (sauf peut-être en $a$ ).

$f$ est négligeable devant $g$ en $a$ , noté $f = o (g)$ , si $\frac{f}{g} \to 0$ en $a$ .
$f$ est dominée par $g$ en $a$ , noté $f = O (g)$ , si $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$ .
$f$ est équivalente à $g$ en $a$ , noté $f \sim g$ , si $\frac{f}{g} \to 1$ en $a$ , autrement dit si $f - g = o (g)$ .

Remarque

La définition générale (sans hypothèse sur les zéros de $g$ ) s'écrit $f = ε g$ avec $ε \to 0$ (resp. $ε$ bornée, resp. $ε \to 1$ ) au voisinage de $a$ . Ainsi, $f = o (1)$ signifie $f \to 0$ , et $f = O (1)$ signifie que $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Théorème Croissances comparées

Pour $α, β > 0$ et $q > 1$  :

(\ln x)^{β} = o (x^{α}) en + \infty, x^{α} = o (e^{β x}) en + \infty, | \ln x |^{β} = o (\frac{1}{x^{α}}) en 0^{+} .

Pour les suites : $n^{α} = o (q^{n})$ , $q^{n} = o (n!)$ et $n! = o (n^{n})$ .

Démonstration

Les trois premières ont été établies au chapitre 5. Pour  : si , alors dès que , donc . Pour  : .

Proposition Propriétés de l'équivalence

$\sim$ est une relation d'équivalence.
Si $f \sim g$ et $g \to ℓ$ , alors $f \to ℓ$ . Si $f \sim g$ , $f$ et $g$ ont le même signe au voisinage de $a$ .
Produits et quotients : si $f_{1} \sim g_{1}$ et $f_{2} \sim g_{2}$ , alors $f_{1} f_{2} \sim g_{1} g_{2}$ et $\frac{f_{1}}{f_{2}} \sim \frac{g_{1}}{g_{2}}$ . Pour $α$ réel fixé et $f, g > 0$ , $f^{α} \sim g^{α}$ .
Si $f \sim g$ en $a$ et si $φ (t) \to a$ quand $t \to b$ , alors $f \circ φ \sim g \circ φ$ en $b$ (on peut substituer dans un équivalent).

Démonstration

Chaque point se lit sur les quotients : , par continuité de en , et par composition des limites. Pour le signe : au voisinage de .

Attention Ce qu'on ne fait pas avec les équivalents

Pas de somme : $x + x^{2} \sim x + x^{3}$ en $0$ et $- x \sim - x$ , mais $x^{2} ≁ x^{3}$ . On additionne des DL, pas des équivalents.
Pas de composition à gauche : $n + 1 \sim n$ , mais $e^{n + 1} ≁ e^{n}$ . En revanche, $\ln f \sim \ln g$ si $f \sim g$ et $g \to ℓ \in [0, + \infty] ∖ {1}$ .
On n'écrit jamais $f \sim 0$ (sauf si $f$ est nulle au voisinage de $a$ ).

Proposition Équivalents usuels en 0

\sin x \sim x, \tan x \sim x, \ln (1 + x) \sim x, e^{x} - 1 \sim x, 1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}, (1 + x)^{α} - 1 \sim α x (α \neq 0), Arctan x \sim x, sh x \sim x .

Démonstration

Ce sont des taux d'accroissement : , et de même pour les autres, en utilisant la dérivée en . Pour le cosinus, .

Développements limités

Définition Développement limité

$f$ admet un **développement limité à l'ordre $n$ en $0$ ** (en abrégé ${DL}_{n} (0)$ ) s'il existe des réels $a_{0}, \dots, a_{n}$ tels que

f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) quand x \to 0.

Le polynôme $\sum a_{k} x^{k}$ est la partie régulière du DL. En un point $x_{0}$ , on étudie $h \mapsto f (x_{0} + h)$ en $0$ .

Proposition Unicité, troncature, parité

Si $f$ admet un ${DL}_{n} (0)$ , sa partie régulière est unique. En tronquant, on obtient un ${DL}_{p} (0)$ pour tout $p \leq n$ . Si $f$ est paire (resp. impaire), sa partie régulière est paire (resp. impaire).

Démonstration

Si avec des coefficients différents, soit le plus petit indice où . En divisant par et en faisant , on obtient  : contradiction. Pour la parité, est aussi un DL de , et l'unicité donne .

Proposition DL d'ordre 0 et 1

$f$ admet un ${DL}_{0} (0)$ si et seulement si elle a une limite finie $a_{0}$ en $0$ (elle est alors prolongeable par continuité). Si $f$ est définie en $0$ , elle admet un ${DL}_{1} (0)$ si et seulement si elle est dérivable en $0$ , et alors $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + o (x)$ .

Attention Pas de réciproque à l'ordre 2

$f (x) = x^{3} \sin \frac{1}{x}$ (prolongée par $f (0) = 0$ ) vérifie $f (x) = o (x^{2})$  : elle a un ${DL}_{2} (0)$ nul. Mais $f^{'} (x) = 3 x^{2} \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x}$ n'est pas dérivable en $0$  : un ${DL}_{2}$ ne garantit pas l'existence de $f^{″} (0)$ .

Lemme Intégration d'un petit o

Si $f$ est dérivable au voisinage de $0$ et $f^{'} (x) = o (x^{n})$ , alors $f (x) - f (0) = o (x^{n + 1})$ .

Démonstration

Soit et tel que pour . Pour , l'inégalité des accroissements finis sur le segment d'extrémités et , où , donne .

Théorème Primitivation d'un DL

Si $f$ est dérivable au voisinage de $0$ et si $f^{'} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} + o (x^{n})$ , alors

f (x) = f (0) + \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{k}}{k + 1} x^{k + 1} + o (x^{n + 1}) .

Démonstration

On applique le lemme à , dont la dérivée est et qui vaut en .

Théorème Formule de Taylor-Young

Si $f$ est de classe $C^{n}$ au voisinage de $0$ , alors

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + o (x^{n}) .

Démonstration

Récurrence sur . Pour , c'est la continuité de en . Si le résultat est vrai au rang , et si est , on l'applique à , qui est  : . La primitivation donne , qui est la formule au rang .

Proposition Développements limités usuels en 0

Mathématiques MPSI · semestre 2 — Chapitre 1

Mathématiques MPSI · semestre 2

Analyse asymptotique et intégration

Analyse asymptotique

Relations de comparaison et développements limités

Relations de comparaison

Développements limités

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